오일러 공식과 복소 정현파

앞선 직교확장에 이어, 또 다른 개념을 설명하자면,

오일러 공식과 복소 정현파

오일러 공식이란 간단히 말해서 아래와 같은 식을 나타내는데,

이 신호는 실제 파형으로는 존재하지 않으며, 대략적으로 크기로만 표현하자면 아래와 같다.

더 나아가면 

으로도 표현이 가능하다는 것을 알 수 있다.

즉 이론상 실수 신호 cos과 허수 신호 jsin이 서로 엇갈리며 진행하는 신호이다.

우리는 이제 이 신호를 가지고 Orthogonal set을 만들고, 함수를 분해하여 볼 것인데,

굳이 이런 함수를 이용하는 이유는 우리가 실제로 다루기 쉽기 떄문이다. (나중에 되면 알게된다.)

그전에 알아둘 상식은 cos ( 10t )에서 우리는 주파수를 알 수 있는데, 

첫번째로 10 rad/sec 로 표현 할 수 있고,

두번째로 10/2pi Hz 로 표현 할 수 있다는 것을 알아 두자. 꼭 cos이 아니더라도  exp(j10t)일 때도 마찬가지이다.

이제 함수를 분석하기 위한 복소 정현파로 Orthogonal set을 구성해보자.

일반적으로 exp(jwnt) n은 정수인 Orthogonal set을 많이 쓰는데,

쓰자면 다음과 같다. 

이제 그것을 증명해보도록하자.

이 되고, 위의 값이 0 이 되어야 직교하므로 위의 값이 0이 되기 위해서는,

jw(n-m)(t2-t1) = 0 이어야 하는데 여기서 0이 되려면 w이 0이 되어야하고, 그러면 결국 아무의미도 없으므로,

복소 정현파의 성질일 잘 활용하여, jw(n-m)(t2-t1) = 2*pi 라는 것을 알 수 있다.

각도가 0이든 2pi이든 똑같기 떄문이다. n-m은 의미가 없기 때문에 제외한다고 치면

결국엔

디지털 주파수 w(오메가) 가 특정 조건을 가지게 된다. 그리고 우리는 이것을 기본 주파수라고 부른다.

즉, 위 기본주파수 조건을 만족할 때 Orthogonal set이 성립함을 알 수 있다.

이 복소정현파의 set으로 함수를 퓨리에 급수로 나타낼 수 있는데,

위 ppt와 같이, 앞서 쓰던 fn말고 Fn으로 퓨리에 급수처럼 사용할 수 있으며,

Fn을 지수 퓨리에 급수 계수라고 한다.

이때, Orthogonal set이지 Orthonomal set이 아니므로 에너지로 Fn값을 나눠주는 것을 기억하자.

직교확장에서 오일러공식을 써서 지금 퓨리에 급수까지 왔다.

많이 혼란스러울 수 있지만 계속 이해하려고 노력해보자.

사실 이 글은 음주하고 쓰는 글이라 퀄리티가 상당히 떨어질 수 있는데, 나중에 고칠것이 있으면 고쳐보도록 하겠다.