수치적분과 직교확장

이번 장의 목표는 매트랩을 활용하여 수치적분을 이용하여 정적분을 계산할 줄 알고,

임의의 함수를 직교기저 함수의 선형결합으로 나타낼 수 있으면 된다.

1. 수치적분

먼저 정적분을 보자. 정적분은 아래와 같은 계산 근사적인 계산 방법이 있다.

잘게 쪼개어, xstep만큼의 밑변에 높이는 y(x)인 직사각형의 너비의 합을 구하는 것이다.,

적당한 예시를 Matlab코드로 표현해보면,

이렇게 표현할 수 있다.

이때 주의해야할 점은

xstep의 간격은 함수의 모양, 적분구간에 따라 적절하게 설정해주어야 한다는 것이다.

함수의 모양이 거의 직사각형과 같으면 xstep을 늘려도 되고, 

적분구간이 너무 작으면 위 예시처럼 0.1로 두는 것은 오차발생위험이 더 크기 때문이다.

그 외로는 for문을 써도 되고, 시그마 함수인 symsum을 사용해도 되지만 저렇게 범위벡터로 한꺼번에 계산하는 것이 더 빠르다고 한다.

2. 직교함수

그리고 직교 함수란 뭘까?

영어로는 Othogonal function이라고 한다.

우리는 보통 두 벡터의 직교를 판단 할때 내적을 이용한다.

예를 들어 벡터 a가 (1,1) 벡터 b가 (1,-1) 이면 a,b의 내적이 1*1-(1*-1) = 0이므로 직교한다고 할 수 있다.

그런데 우리가 아는 함수들은 또 어떻게 보면 벡터들의 연속이라고 할 수 있다.

함수들이 벡터들의 연속이므로 함수와 함수간의 직교관계도 내적으로 풀 수 있지 않을까?

그렇다.

두 함수의 내적이 0 이라면 그 함수들은 직교관계이다. Othogonal하다는 것이다.

참고로 함수들의 내적은 두 함수의 곱의 적분을 하면 되는데, 구간에 상관없을 수도 있고, 구간 별로 상이할 수도 있다.

구간 별로 상이한 경우는 [0,2]구간에서 othogonal하다고 해주고 적분할 때 범위를 0~2로 놓으면 된다.

예를 한번 들어보자.

sin함수들로 예를 들었는데, 0~pi 구간에서 서로 다른 함수이면 직교한다는 것을 알 수 있다.

위 예시는 시험에 잘 등장하므로 잘 외워 두자.

( Othogonal set이라는 용어는 그 set에 있는 서로 다른 임의의 두 함수는 직교하는 것들의 집합이라는 의미이다. )

3. 직교확장

2차원 평면을 생각해보자. 2차원 평면의 임의의 벡터가 있다.

그리고 그 벡터는 a * (0,1) + b * (1,0) (a,b는 상수) 혹은 a * (0,-1) + b * (-1,0) (a,b는 상수) 로 표현할 수 있다 그렇지 않은가?

그런데 a * (0,1) + b * (1,1) (a,b는 상수) 

a * (1,1) + b * (1,1) (a,b는 상수) 

a * (0,-1) + b * (1,-1) (a,b는 상수)  등등으로는 모든 임의의 벡터를 표시할 수 없다.

이 뜻은 모든 벡터는 서로 직교하는 단위벡터에 상수를 곱한 값으로 분해되고 만들어 질 수 있다는 것을 의미한다.

근데 위에서 우리는 함수들은 벡터들의 연속이라 하지 않았는가? 

그럼 함수들도 쪼갤 수 있다!

어떻게? 상수와 서로 다른 직교하는 함수들로! (Othonomal set)

오잉? Othogonal이 아니고 Othonamal은 뭐지?

Othonomal은 Othogonal에서 좀더 나아간 개념으로, 직교하는데 그 직교하는 벡터들이 단위벡터 (단위 함수) 이면 된다.

그 벡터, 함수의 에너지가 1인것이다.

즉 함수는 이렇게 표현될 수 있다.

fn들은 상수이다. fn들이 온연한 상수값을 지니기 위해서 반드시 othonamal set으로 분해되어야 한다.

그렇다, othonomal set으로 모든 함수들을 분해할 수 있다.

그런데 fn은 어떻게 구하나? 하나 하나 대입해 보면서 근사한 값을 찾나? 아니다.

이제껏 해왔듯, 함수를 벡터라고 생각하자.

a * (0,1) + b * (1,0) (a,b는 상수)에서 a,b를 구하려면 우리는 무슨 짓을 했었는가?

맞다 삼각형을 만들어서 아래와 같은 짓을 했다.

사잇각과 cos을 이용해 a,b값들을 추출해 내었고 이는 곧 상수들과 단위벡터간의 내적관계로 이어주었다.

그렇다면? 당연히 함수에도 적용이 가능하다.

즉 fn은 f(t)와 Orthonomal set간의 내적으로 표현할 수 있다.

좀 더 쉽게 말하자면 fn은 f(t)와 Orthonomal set의 요소의 곱의 적분으로 표현 할 수 있다.

다음시간에 계속.